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数学分析课后习题答案1.1

第一章 实数集与函数

§1实数

1、设a为有理数,x为无理数,试证明:

⑴a+x是无理数.

⑵当a≠0时,ax是无理数.

证: ⑴ 假设a+x是有理数,则(a+x) a=x是有理数,这与题设x为无理数相矛盾, 故a+x是无理数.

⑵假设ax是有理数,则ax=x为有理数,这与题设x为无理数相矛盾 a

故ax是无理数.

1、 试在数轴上表示出下列不等式的解:

⑴ x(x 1)>0;⑵

2、 设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有a b<ε,则a=b.

证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有a>b或a<b;

若a>b,则又由绝对值定义知:a b=a b.

令ε=a b,则ε为正数,但这与a b=a b<ε矛盾;

若a<b,则又由绝对值定义知:a b=b a.

令ε=b a,则ε为正数,但这与a b=b a<ε矛盾;

从而必有a=b.

3、 设x≠0,证明x+2⑶ 1≥2,并说明其中等号何时成立. x

证:因x与1111同号,从而x+=x+≥2x =2, xxxx

等号当且仅当x=

1,即x=±1时成立. x

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